Brenda Hernandez: 3.15 algunas transformadas inversas

una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir,. Ahora, como ${\cal L} \{y(t) \} = Y(s)$ si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa ${\cal L}^{-1} \{Y(s) \}$ , para hallar la función

$\displaystyle y(t) = {\cal L}^{-1} \{F(s) \} = {\cal L}^{-1} \{ G(s) \}$

Entonces definamos la transformada inversa.

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita ${\cal L}^{-1} \{ F(s) \}$ es , es decir, ${\cal L}^{-1} \{F(s) \} =f(t)$

Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\}$

Solución
Puesto que

$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(2t) \} = \frac{s}{s^2 + 4}$

tenemos que

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} = Cos(2t)$

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , siendo $f(t) \neq g(t)$ . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , entonces ; pero, si y son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{ f(t) \} = {\cal } \{g(t) \}$ , entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo
Calcule ${\cal L} \{ f(t) \}$ , donde esta dada por

$\displaystyle f(t) = \begin{cases} 1 & \text{Si $t \geq 0$, $t \neq 1$, $t\neq 2$\ } \\ 3 & \text{Si $t=1$} \\ 4 & \text{Si $t=2$} \\ \end{cases}$

¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada

$\displaystyle {\cal L} \{g(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st}g(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{e^{-st}}{s} \biggr\vert^{\infty}_0$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{s}$