3.16.1 Determinacion Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales

Expandiendo en fracciones aprciales tenemos:

(s^3-8s^2+12)/(s^4-4s^3+6s^2) = A/s + B/s^2 + (Cs + D)/[ (s - 2)^2 + 2 ]

sumando y factorizando:

(s^3-8s^2+12)/(s^4-4s^3+6s^2) = [(A + C)s^3 + (A + B + D)s^2 + (6A - 4B)s + 6B]/[s^2[ (s - 2)^2 + 2 ]]

Por comparación, se igualan los coeficientes de "s" de los dos numeradores y se obtiene el sig. sistema de ec.

A + C = 1
-4A + B + D = -8
6A - 4B = 0
6B =12

El cual esta autodefinido y por sustitución hacia atras, obtenemos:

A = 4/3, B = 2, C = -1/3, D = -14/3

Por lo tanto

f(t) = L^(-1){(4/3)/s} + L^(-1){2/s^2} + L^(-1){((-1/3)s -14/3)/[(s - 2)^2 + 2 ]}

f(t) = 4/3 + 2t - (1/3)L^(-1){(s - 2)/[(s - 2)^2 + 2 ]} - (16/3√2)L^(-1){√2/[(s - 2)^2 + 2 ]}

f(t) = 4/3 + 2t - (1/3) e^(2t)*cos (√2t) - (16/3√2) e^(2t)*sen (√2t)

2.
Para el segundo caso se tiene:

L^(-1) {(8/9s-11/9)/(s^2-4s+6)} = (8/9)L^(-1) {(s - 2)/[(s - 2)^2 + 4]} +(5/9√2)L^(-1) {(√2/[(s - 2)^2 + 4]} 

* Nota que la suma de los numeradores es: 

(8/9)(s - 2) +(5/9√2) (√2) = (8/9)s - 16/9 + 5/9 = (8/9)s - 11/9
es decir el numerador original

Por lo tanto

L^(-1) {(8/9s-11/9)/(s^2-4s+6)} = (8/9) e^(2t)*cos (√2t) + (5/9√2) e^(2t)*sen (√2t)

FUENTE:
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090614194454AAtcoHE