3.1 DEFINICION DE LA TRANFORMACION LAPLACE

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. 

ContextoLa Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Definición de la Transformada

Sea f una función definida para  , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

Definición de la Transformada Inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

y

 Propiedades de la Transformada

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

   
   Versión para la inversa:
    
2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   donde
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

   Versión para la inversa:
    
3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   

   Idea
   La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   Siempre y cuando exista
   
   
6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
7. Transformada de la función escalón (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si  representa la función escalón unitario entonces
   
   

8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
9. Transformada de una función periódica (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si f(t) es una función periódica con período T:
    

Teorema de la Convolución (Ejemplos, Ir a índice)

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
 

FUENTE: http://www.monografias.com/trabajos32/transformada-laplace/transformada-laplace.shtml