Brenda Hernandez

lunes, 23 de mayo de 2011

3.16.2 Determinación de la transformada inversa usando los teoremas de Heaviside

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o de Heaviside H: {0, + ∞} àR se define como:

3.16.1 Determinacion Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales

Expandiendo en fracciones aprciales tenemos:

(s^3-8s^2+12)/(s^4-4s^3+6s^2) = A/s + B/s^2 + (Cs + D)/[ (s - 2)^2 + 2 ]

sumando y factorizando:

(s^3-8s^2+12)/(s^4-4s^3+6s^2) = [(A + C)s^3 + (A + B + D)s^2 + (6A - 4B)s + 6B]/[s^2[ (s - 2)^2 + 2 ]]

Por comparación, se igualan los coeficientes de "s" de los dos numeradores y se obtiene el sig. sistema de ec.

A + C = 1
-4A + B + D = -8
6A - 4B = 0
6B =12

El cual esta autodefinido y por sustitución hacia atras, obtenemos:

A = 4/3, B = 2, C = -1/3, D = -14/3

Por lo tanto

f(t) = L^(-1){(4/3)/s} + L^(-1){2/s^2} + L^(-1){((-1/3)s -14/3)/[(s - 2)^2 + 2 ]}

f(t) = 4/3 + 2t - (1/3)L^(-1){(s - 2)/[(s - 2)^2 + 2 ]} - (16/3√2)L^(-1){√2/[(s - 2)^2 + 2 ]}

f(t) = 4/3 + 2t - (1/3) e^(2t)*cos (√2t) - (16/3√2) e^(2t)*sen (√2t)

2.
Para el segundo caso se tiene:

L^(-1) {(8/9s-11/9)/(s^2-4s+6)} = (8/9)L^(-1) {(s - 2)/[(s - 2)^2 + 4]} +(5/9√2)L^(-1) {(√2/[(s - 2)^2 + 4]}

* Nota que la suma de los numeradores es:

(8/9)(s - 2) +(5/9√2) (√2) = (8/9)s - 16/9 + 5/9 = (8/9)s - 11/9
es decir el numerador original

Por lo tanto

L^(-1) {(8/9s-11/9)/(s^2-4s+6)} = (8/9) e^(2t)*cos (√2t) + (5/9√2) e^(2t)*sen (√2t)

FUENTE:
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090614194454AAtcoHE

3.16 Propiedades de la transformada inversa (linealidad y traslación)

Linealidad

Una propiedad que posee la TL-Inversa, la cual hereda de la TL, y que nos permitirá encontrar en algunas ocaciones la TL-Inversa es la propiedad de linealidad, la cual se enuncia en el siguiente teorema:

Sean F (s) y G (s) las TL de dos funciones f (t) y g (t) dadas y sea α una constante cualquiera. Entonces se cumple

L−1 {F (s) + G (s)} = L−1 {F (s)} + L−1 {G (s)} = f (t) + g (t)

L−1 {αF (s)} = αL−1 {F (s)} = αf (t)

o equivalentemente

L−1 {αF (s) + G (s)} = L−1 {αF (s)} + L−1 {G (s)} = αL−1 {αF (s)} + L−1 {G

miércoles, 18 de mayo de 2011

3.15 algunas transformadas inversas

una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir,. Ahora, como ${\cal L} \{y(t) \} = Y(s)$ si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa ${\cal L}^{-1} \{Y(s) \}$ , para hallar la función

$\displaystyle y(t) = {\cal L}^{-1} \{F(s) \} = {\cal L}^{-1} \{ G(s) \}$

Entonces definamos la transformada inversa.

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita ${\cal L}^{-1} \{ F(s) \}$ es , es decir, ${\cal L}^{-1} \{F(s) \} =f(t)$

Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\}$

Solución
Puesto que

$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(2t) \} = \frac{s}{s^2 + 4}$

tenemos que

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} = Cos(2t)$

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , siendo $f(t) \neq g(t)$ . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , entonces ; pero, si y son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{ f(t) \} = {\cal } \{g(t) \}$ , entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo
Calcule ${\cal L} \{ f(t) \}$ , donde esta dada por

$\displaystyle f(t) = \begin{cases} 1 & \text{Si $t \geq 0$, $t \neq 1$, $t\neq 2$\ } \\ 3 & \text{Si $t=1$} \\ 4 & \text{Si $t=2$} \\ \end{cases}$

¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada

$\displaystyle {\cal L} \{g(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st}g(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{e^{-st}}{s} \biggr\vert^{\infty}_0$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{s}$

Pero, anteriormente hemos comprobado que

$\displaystyle {\cal L} \{ 1 \} = \frac{1}{s}$

con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de

$\displaystyle F(s)=\frac{1}{s}$

no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.

3.14 transformada inversa

El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido como método de la inversa de la transformada, es un método para la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución (cdf). Este método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad. El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general, es más eficiente desde el punto de vista computacional.

El método se utiliza para simular valores de las distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull.

Obtención del método

El método de la transformada inversa se basa en el siguiente teorema:

Teorema de inversión. Sea X una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad acumulada F, continua e invertible, y sea $F - 1$ su función inversa. Entonces, la variable aleatoria U =F(X) tiene distribución uniforme en $(0;1)$ . Como consecuencia, si U es una variable aleatoria uniformeen $(0;1)$ entonces la variable aleatoria $X = F - 1 (U)$ satisface la distribución F.

El método
El problema que resuelve el método de la transformada inversa es el siguiente:
Sea X una variable aleatoria cuya distribución puede ser descrita por la cdf F.

Se desea generar valores de X que están distribuidos según dicha distribución.

Numerosos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudo-aleatorios que se encuentran distribuidos de acuerdo con una distribución uniforme standard. Si una variable aleatoria posee ese tipo de distribución, entonces la probabilidad de que el número caiga dentro de cualquier subintervalo (a, b) del intervalo entre 0 a 1 es la longitud del subintervalo, o sea b − a.
El método de la transformada inversa funciona de la siguiente manera:
Se genera un número aleatorio a partir de la distribución uniforme standard; se lo llama u.

Se calcula el valor x tal que $F (x) = u$ ; y se lo llama x_elegido.

Se toma x_elegido como el número aleatorio extraído de la distribución caracterizada por F.

Demostración del teorema

Sea
$F^{-1}(u) = \inf\;\{x \mid F(x)=u, 0<u<1\}$
$\Pr(F^{-1}(U) \leq x) \!$
$= \Pr(\inf\;\{x \mid F(x)=U\} \leq x) \!$     (por definición de $F - 1$ )
$= \Pr(U \leq F(x)) \!$     (aplicando F, que es monótona, a ambos lados)
$= F(x) \!$     (porque $\Pr(U \leq y) = y$ , dado que U es uniforme en el intervalo unitario)